1 Введение

1.1 О науке «Сопротивление материалов»

Сопротивление материалов - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций и сооружений. Она является частью механики твердого деформируемого тела, куда входят теории упругости, пластичности, ползучести, строительная механика, динамика и устойчивость сооружений, механика разрушений и др.

Прочность – это способность элементов конструкции сопротивляться действию приложенных к ним сил без разрушения.

Жесткость – способность элементов конструкции сопротивляться изменению размеров и формы под действием внешних сил в пределах заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых при условии нормальной эксплуатации. Жёсткость элементов конструкций и сооружений регламентируется нормами проектирования. Например, наибольший прогиб (стрела прогиба f) для балок, применяемых в строительстве, обычно составляет f=(1/200 …1/1000)l, где l, - длина пролёта балки.

Устойчивость – это способность элементов конструкции под действием внешних сил сохранять свою первоначальную форму равновесия.

Задача сопротивления материалов состоит в разработке инженерных методов расчета конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при заданной долговечности и экономичности.

Методы сопротивления материалов различны, так как различны решаемые инженерные задачи, но все они должны быть простыми и обеспечивать достаточную точность.

Цель- получение надёжных размеров (или внешних нагрузок), обеспечивающих прочность конструкции.

Начало науки о сопротивлении материалов связывают с именем известного физика, математика, астронома Галилео Галилея (1564-1642), который установил зависимость между размерами строений и максимально допустимыми нагрузками. Результаты этих исследований применялись в кораблестроении. В том же веке жил и работал англичанин Роберт Гук, первым сформулировавший основной закон сопротивления материалов – закон Гука.

В XVIII веке Леонард Эйлер, который большую часть своей жизни жил и работал в России, решил задачу об устойчивости сжатых стержней.

В XIX веке русский ученый Д.И.Жуковский внес значительный вклад в дальнейшее развитие теории изгиба балок и методов расчета рам. В это же время Х.С.Головин решил задачу об изгибе кривого стержня, а в конце века Д.С.Ясинский рассмотрел задачу устойчивости сжатых коротких стержней.

В ХХ веке академик Б.Г.Галеркин создал приближенный метод расчета деталей сложной конфигурации. В.З. Власов разработал общий метод расчета тонкостенных стержней и оболочек.

1.2 Реальный объект и расчётная схема

Исследование вопроса о прочности реального объекта начинается с выбора расчётной схемы путём отбрасывания тех факторов, которые не могут заметным образом повлиять на его работоспособность в целом. Это совершенно необходимо, так как решение с полным учетом всех свойств реального объекта является принципиально невозможным в силу их бесчисленного множества.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называется расчетной схемой, выбор которой начинается со схематизации свойств материалов на основе гипотез о твердом деформируемом теле.

Основные гипотезы о твердом деформируемом теле:

1. Общепринятым считается рассматривать все материалы как однородную сплошную среду независимо от особенностей их микроструктуры. Согласно этой гипотезе материал считается сплошным и полностью заполняющим объём, ограниченный поверхностью тела, т.е. не учитывается молекулярное строение вещества. Эта гипотеза позволяет использовать математический аппарат бесконечно малых величин.

Свойства материала могут быть неодинаковыми в различных точках тела, что характеризует его неоднородность.

Под однородностью материала понимается независимость его свойств от величины выделенного объёма.

2. Материал конструкции принимается изотропным, если его физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям, а при их различии - анизотропным. К анизотропным материалам можно отнести стеклопластики, пластмассы, древесину и др.

3. Материал конструкции принимается идеально упругим.

 Упругость - это свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры и форму частично или полностью после снятия нагрузки. Если тело восстанавливает свои размеры полностью, то оно называется идеально упругим.

В большинстве задач сопротивления материалов материал конструкций считается сплошным, однородным, изотропным, идеально упругим.

4. Гипотеза Сен-Венана: если к некоторой части тела приложена самоуравновешенная система сил (рис.1.1), то эффект действия этих сил (напряжения, деформация) быстро убывает по мере удаления от места их приложения (принцип Сен-Венана).

Рис.1.1.

 

5. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса плоские и перпендикулярные к оси до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными к ней после нагружения. Это допущение называется гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли.

6. Гипотеза неизменности первоначальных размеров: даже при максимально допустимых нагрузках деформации в конструкциях предполагаются настолько малыми, что можно пренебречь изменениями положения сил в процессе нагружения (рис.1.2)

Рис.1.2.

7. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) – в пределах упругих деформаций результат воздействия на конструкцию системы внешних сил равен сумме результатов воздействия каждой силы в отдельности.

Введение рассмотренных гипотез позволяет существенно упрощать решение задач с достаточным обоснованием в широкой области инженерных расчётов.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта, когда геометрическая форма тела приводится к схеме бруса, пластины, оболочки или массивного тела.

Рис.1.3.

Под брусом (стержнем) понимается тело, у которого длина (l) значительно больше его поперечных размеров (h,b) (рис.1.3,а).

Рис.1.4

Осью бруса называется линия, проходящая через центры тяжестей площадей поперечных сечений.

Поперечное сечение бруса - это плоскость, перпендикулярная его оси. В зависимости от формы оси брус может быть прямым, криволинейным или пространственным.

Ко второму типу конструктивных элементов относятся пластины и оболочки, у которых длина и ширина(а, b) значительно превышают их толщину (h) (рис.1.3 б, в).

Третьим типом конструктивных элементов является массивное тело (рис. 1.3, г), у которого все три основных измерения (h, а, b) имеют один порядок. К таким элементам можно отнести блоки фундаментов, гидротехнические сооружения и т.д.

1.3 Классификация внешних сил

Силы являются мерой механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих её тел, то действие последних на неё заменяется силами, которые называются внешними. К внешним силам относятся и реакции опорных устройств.

Классификацию этих сил можно провести по нескольким признакам. Рассмотрим некоторые из них.

Силы поверхностные и объёмные.

Поверхностные силы - это силы, действующие по поверхности тела или по её значительной части (давление воды на боковую поверхность плотины, давление газа на стенки баллона).

Объёмные силы – это силы, распределенные по всему объёму тела, т.е. приложены к каждой его частице (силы тяжести, силы инерции, силы электромагнитных полей).

Силы сосредоточенные и распределённые.

Сосредоточенные силы - это силы, приложенные к малой части поверхности конструкции (сила давления колеса железнодорожного вагона на рельс). В расчетной схеме такая сила принимается приложенной в точке.

Распределенные силы– это силы, приложенные к достаточно большой части поверхности конструкции (снеговая нагрузка на крышу, давление верхнего строения пути на земляное полотно и т.д.).

Силы постоянные и временные.

Постоянные силы – это силы, которые действуют, не изменяясь, в течение длительного промежутка времени (например, вес железнодорожного моста, передающийся на его опоры).

Временные силы – это силы, действующие в течение сравнительно небольшого промежутка времени (вес железнодорожного состава, проходящего через мост).

Силы статические и динамические.

Статические силы – это силы, постепенно возрастающие от нуля до конечного значения, а затем почти не изменяющие своей величины (действие силы тяжести строящегося здания на фундамент).

Динамические силы - это быстро изменяющиеся силы. К ним относятся ударные, инерционные, либо циклически изменяющиеся нагрузки.

Силы активные (обычно бывают заданными) и силы реактивные (силы, действующие со стороны опорных устройств, которые, как правило, подлежат определению).

1.4 Метод сечений

Внешние силы, деформируя тело, вызывают в нем внутренние силы – силы взаимодействия одной части тела с другой. Прочность тела, в конечном счете, зависит именно от этих сил.

Рис.1.4. Метод сечений

 

Внутренние усилия определяются методом сечений. Рассмотрим его на примере тела произвольной формы, нагруженного системой внешних сил, удовлетворяющей условиям равновесия. Мысленно рассечем его некоторой плоскостью на две части (рис.1.4, а). Так как связи между частями тела устранены, то действие их друг на друга необходимо заменить системой внутренних сил. Воспользовавшись правилами статики, приведем эту систему сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор  и главный момент  (рис1.4 б), проекциями которых на координатные оси x, y, z являются силы Q_{x ,} Q_{y ,} N (проекции главного вектора) и моменты M_x, M_y, M_z  (проекции главного момента). Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами в сечении бруса или внутренними усилиями: N - нормальная или продольная сила; Q_x, Q_y  - поперечные силы; M_x, M_y - изгибающие моменты; M_z - крутящий момент.

При известных внешних силах все рассмотренные силовые факторы определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части бруса.

,

Здесь ∑Х, ∑У, ∑Z – сумма проекций внешних сил на координатные оси x, y, z,  - сумма моментов внешних сил относительно координатных осей x, y, z.

Из приведенных уравнений равновесия следует, что внутренние усилия правой и левой части бруса равны по величине, но противоположны по направлению.

Наиболее подробно определение внутренних усилий будет рассмотрено при изучении простых деформаций бруса – центрального растяжения (сжатия), изгиба и кручения.

Если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только нормальная сила N, а остальные силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке брус испытывает деформацию растяжения или сжатия. Если в поперечном сечении будет отличным от нуля только крутящий момент М_к, то брус в этом сечении будет испытывать деформацию кручения. Если в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент M_х (или M_у), то брус будет испытывать деформацию чистого изгиба в плоскости yz (или xz ). Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом возникает поперечная сила Q_y  (Q_x). В этом случае брус испытывать поперечный изгиб. Если в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q_y  (Q_x), то будет иметь место деформация чистого сдвига.

Перечисленные деформации носят название простых деформаций.

1.5 Понятие о напряжении

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящаяся на единицу площади сечения.

Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис.1.5). В окрестности точки К выделим элементарную площадку dА, в пределах которой действует внутреннее усилие ΔR. За среднее напряжение на площадке dА принимается отношение р_ср= . Уменьшая эту площадку, стянем её в точку К. В пределе получим р=ℓim при ΔA→ 0. Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К сечения А. Размерность напряжения H/м² -1Па. Эта единица измерения мала, поэтому на практике используется 1 МПа = 10⁶ Па или

1 КПа = 10³ Па.

Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения (рис1.6).

Рис.1.5.                                                                                                                                                            Рис. 1.6.

1.6 Перемещения и деформации

Все тела под действием внешних сил деформируются (в какой - то мере меняют свои форму и размеры). В этом случае точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, начало которого находится в точке недеформированного тела А, а конец в той же точке деформированного тела А´, называется вектором полного перемещения точки (рис. 1.7).

Проекции этого вектора на координатные оси x,y,z обозначаются соответственно через u, v, w. Если на систему тел наложены связи, исключающие её перемещения в пространстве как жесткого целого, то такая система называется кинематически неизменяемой. Именно такие системы рассматриваются в сопротивлении материалов. В этом случае из перемещений всех точек исключаются составляющие перемещений тела как абсолютно жесткого и остаются лишь перемещения, свойственные только деформируемому телу. Тогда перемещения u, v, w являются малыми по отношению к общим геометрическим размерам тела. На основе малости таких перемещений и принята сформулированная ранее гипотеза неизменности начальных размеров, которая позволяет при составлении уравнений статики рассматривать тело как не деформированное, имеющее геометрические размеры такие же, как и до нагружения внешними силами.

Интенсивность изменения формы и размеров тела характеризуется линейными и угловыми деформациями. Рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расстояние между которыми равно l (рис.1.8). После деформации тела это расстояние изменится на  величину l. Отношение  l к начальной длине l называется средним удлинением на отрезке . Уменьшая отрезок l, будем приближать точку В к точке А, тогда в пределе получим  при l →0. Величина ξ_АВ называется относительной линейной деформацией в точке А по направлению АВ. В этой же точке, но в другом направлении  деформация будет другой. Если рассматриваются деформации в направлении координатных осей x, y, z, то в их обозначение вводятся соответствующие индексы: ξ_x, ξ_y, ξ_z.

Следует отметить, что слово «деформация» имеет два значения. В обиходном языке оно обозначает всякое изменение формы без количественной оценки. В сопротивлении материалов имеет данное выше строгое определение и выступает как количественная мера изменения геометрических размеров в окрестности точки. Кроме линейной деформации в теле возникают также и угловые деформации. Прямой угол, образованный в недеформированном теле отрезками СD и DE, после нагружения его внешними силами изменит свою величину и примет значение, равное углу(рис. 1.8). Будем уменьшать отрезки СD и DЕ, приближая точки С и Е к точке D и оставляя угол СDЕ прямым, тогда получим в пределе, что разность углов СDЕ и определится выражением () = при стремлении СD→ 0 и ЕD→ 0. Величина  называется угловой деформацией или углом сдвига в точке D плоскости СDЕ. Если углы сдвига рассматриваются в координатных плоскостях, то они обозначаются через γ_ху, γ_уz , γ _zх .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной и той же точки образуют деформированное состояние в этой точке.

Контрольные вопросы для закрепления материала

1.     Чем занимается наука о сопротивлении материалов?

2.     Понятия о  прочности, жёсткости и устойчивости элементов конструкций?

3.     Какие силы называются внешними и внутренними?

4.     Предназначение метода сечений в сопротивлении материалов? В чём он заключается?

5.     Напряжение и его размерность?

6.     Определение нормального и касательного напряжения?

7.     Деформации бруса при нагружении внешними силами?

8.     Что понимается под расчётной схемой реальной конструкции?

9.     Основные гипотезы твёрдого деформируемого тела?